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  • 叶卢庆 16:42 on 2017/08/22 固定链接 | 回复
    Tags: , 右逆矩阵   

    【续】为什么行满秩矩阵会有右逆矩阵呢?即,为什么若矩阵A的行空间满秩,则存在矩阵B,使得AB=I呢?这个问题等价于证明存在矩阵B,使得(AB)^T=I^T=I.也即B^TA^T=I.我们知道矩阵A^T是列满秩矩阵.从而由上一条,肯定存在矩阵B^T,使得B^TA^T=I.

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  • 叶卢庆 16:36 on 2017/08/22 固定链接 | 回复
    Tags: , 左逆矩阵   

    为什么列满秩矩阵会有左逆矩阵呢?即,为什么若矩阵A的列空间满秩,则存在矩阵B,使得BA=I呢?矩阵A的列空间满秩,说明可以仅仅通过初等行变换,把矩阵A变为对线元素都为1,非对角线元素都为0的矩阵T。这说明起码存在一个矩阵C,使得CA=T.其中矩阵C是一系列初等行变换矩阵的乘积.而显然存在矩阵T’,使得T’T=I.因此T’CA=I.所以令B=T’C即可.

     
  • 叶卢庆 09:33 on 2017/08/22 固定链接 | 回复
    Tags: ,   

    【续】那为什么初等行变换甚至连矩阵列空间的基底向量所在的位置都不改变呢?这是因为,线性方程组中,一个未知数是基本变量还是自由变量,不是初等行变换能改变的!也即初等行变换不改变某个未知数的性质

     
  • 叶卢庆 09:16 on 2017/08/22 固定链接 | 回复
    Tags: ,   

    【续】为什么初等行变换不改变矩阵A的列空间的维数呢?因为矩阵A的列空间就是对应的线性方程组的解空间,而初等行变换是不会改变线性方程组的解空间的!

     
  • 叶卢庆 16:35 on 2017/08/21 固定链接 | 回复
    Tags: ,   

    为什么初等行变换不改变矩阵A的列空间的维数呢?我们知道,矩阵A总有一些列,是最基本的列,这些列是线性无关的,而剩下的多余的列都可以用这些列线性表示.事实上,只要我们对矩阵A进行初等列变换,将矩阵A化成阶梯型矩阵,就能看出这一点.所以,我们只要证明,对矩阵A进行初等行变换后,那些基本列仍然是矩阵A的基本列即可. 这是不难的.

     
  • 叶卢庆 13:19 on 2017/08/16 固定链接 | 回复
    Tags: 逆矩阵, , 数学   

    如果矩阵能进行LU分解,A=LU,那么A^{-1}=U^{-1}L^{-1}I.我们知道,L^{-1}其实就是把A变成U的一系列行变换的复合,因此我们知道了L^{-1}该怎么具体实现.同样我们知道,U^{-1}就是把U变为单位矩阵的一系列行变换的复合,因此我们也知道了U^{-1}该怎么具体实现.这样我们就能知道A^{-1}=U^{-1}L^{-1}I该怎么具体实现了.从而求得了矩阵A的逆矩阵A^{-1}.这种方法就是求逆矩阵的Gauss-Jordan法.

     
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